18: Sind die Planetenbahnen stabil?

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Im letzten Weltallwissend-Beitrag ging es um die Formen der Planetenbahnen sowie die Gesetze, denen sie folgen, den sogenannten Keplerschen Gesetzen (siehe Weltallwissend 17: “Planetenbahnen“). Doch bleiben diese Planeten wirklich immer genau auf diesen Bahnen? Oder könnte morgen die Erde mit dem Mars kollidieren oder gar in die Sonne stürzen? Sind die Planetenbahnen stabil?

Nachdem Isaac Newton die Gravitationskraft beschrieben hatte, die dafür sorgt, dass die Planeten überhaupt um die Sonne kreisen, gelang es ihm, Keplers Gesetze mathematisch zu beweisen. Doch bei diesen Beweisen betrachtete er jeweils nur zwei Objekte: die Sonne und einen Planeten.

Hierbei handelt es sich um ein sogenanntes Zweikörperproblem. Es wird nur der Einfluss berechnet, den diese zwei Objekte aufeinander haben. Wenn wir uns also ein Sonnensystem vorstellen, in dem es nur die Sonne und die Erde gibt und sonst nichts anderes gravitativ an den beiden zieht, dann umkreist die Erde die Sonne genau nach den Keplerschen Gesetzen.

Doch nun nehmen wir noch ein drittes Objekt hinzu. Das kann noch ein weiterer Planet wie der Jupiter sein, das kann auch der Erdmond sein. Dieses Objekt wird nun sowohl von der Sonne als auch von der Erde beeinflusst, es zieht aber auch selber sowohl die Sonne als auch die Erde an. Nun spricht man von einem Dreikörperproblem und das ist deutlich komplizierter als ein Zweikörperproblem. Die Keplerschen Gesetze liefern von nun an nur noch einen guten Näherungswert für die Umlaufbahnen, da die gravitativen Einflüsse des dritten Objektes außen vor gelassen werden.

Das Dreikörperproblem war so kompliziert, dass Mathematiker es mehrere Jahrhunderte lang nicht lösen konnten, also nicht angeben konnten, wie sich die drei Körper bewegen. Bei noch mehr Körpern, man spricht allgemein vom N-Körper-Problem (das N bezeichnet eine Zahl, die größer als 2 ist), wird das ganze natürlich noch komplizierter.

Wieso ist das Dreikörperproblem so schwierig zu lösen? Ich beziehe mich in dieser Infobox auf das bereits erwähnte Beispiel mit Sonne, Erde und Mond als System aus drei Körpern. Solange wir nur Erde und Sonne betrachten, befinden sich beide auf klar bestimmten Bahnen. Wenn nun auch noch der Mond die Erde anzieht, verändert die Erde ihre Bahn leicht, wodurch aber auch die Gravitationskraft, die die Sonne und die Erde aufeinander ausüben, neu berechnet werden muss. Dadurch ändern sich die Bahnen beider Objekte wieder ein Stück und die Anziehungskraft des Mondes muss neu berechnet werden und so weiter – und dabei haben wir noch nicht mal die Gravitationskraft, die Sonne und Mond aufeinander ausüben, miteinbezogen.

Als man mit dem Allgemeinen Dreikörperproblem nicht weiter kam, beschäftigten sich die Mathematiker erst einmal mit dem „eingeschränkten Dreikörperproblem“. Dort geht man auch von drei Körpern aus, jedoch ist einer der drei Körper so klein und leicht, dass man die Gravitationskraft, die er auf die beiden anderen Objekte ausübt, vernachlässigen kann. In diesem System bewegen sich die anderen beiden Körper immer noch auf einer Bahn nach den Keplerschen Gesetzen, da sie nur von jeweils einem anderen Körper angezogen werden. Es muss also nur noch eine Bewegungsgleichung für den dritten Körper unter Einfluss der beiden anderen aufgestellt werden. Aber auch das schafften Mathematiker nur für sehr wenige Spezialfälle.

Doch zurück zum allgemeinen Dreikörperproblem: Als in den 1880er-Jahren der schwedische König Oscar II. einen Preis für die Lösung des Dreikörperproblems ausstellte, reichte der Mathematiker Henri Poincaré eine Lösung ein. Erst danach fiel ihm ein schwerwiegender Fehler darin auf und es gelang ihm nicht, diesen zu korrigieren. Also beschäftigte er sich weiterhin mit dem Problem und reichte etwas später eine neue Arbeit ein – in dieser formulierte er jedoch keine Lösung, sondern bewies mathematisch, dass es keine allgemeine Lösung für das Dreikörperproblem gibt. Man kann nicht für unendlich lange Zeit vorhersagen, wie sich Objekte in einem solchen System bewegen! Für jedes andere N-Körper-Problem gilt genau das gleiche.

Bis heute sind einige wenige Spezialfälle gefunden worden, in denen es doch möglich ist, das Problem zu lösen, zum Beispiel ein System, in dem alle drei Objekte sich auf einer Bahn in Form einer 8 gegenseitig hinterherjagen. Bei diesen Spezialfällen handelt es sich aber nur um mathematische Spielereien, die keine wirkliche praktische Anwendung haben.

Was bedeutet das ganze nun eigentlich für unser Sonnensystem? Allein, wenn wir nur die Sonne und die Planeten in unserem Sonnensystem beachten, haben wir schließlich schon neun Objekte, die sich gegenseitig beeinflussen. Sämtliche Zwergplaneten, Asteroiden und Monde haben wir dabei noch gar nicht bedacht.

Jedoch macht die Sonne 99,86% der Masse unseres gesamten Sonnensystems aus, weshalb die Keplerschen Gesetze, die ja nur die Anziehungskraft der Sonne berücksichtigen, eine gute Näherung sind. Trotzdem entstehen durch die Planeten laufend kleine Störfaktoren, die sich über längere Zeit aufsummieren und die Bahnen erheblich beeinflussen können. Aber man muss auch bedenken, dass die Planeten unseres Sonnensystems die Sonne seit mehreren Milliarden Jahren auf ihren Bahnen umkreisen. Das spricht auf jeden Fall dafür, dass die Bahnen ziemlich stabil sind und das in absehbarer Zeit auch bleiben werden. Außerdem können die Wissenschaftler mittlerweile sehr gute Näherungen für die Planetenbahnen ausrechnen.

Obwohl wir die Umlaufbahnen der Planeten also nicht für alle Zeiten im Voraus berechnen können, scheinen sich die Planeten auf sehr stabilen Bahnen zu bewegen – dafür spricht die große Masse der Sonne im Vergleich zu den anderen Objekten im Sonnensystem und die Tatsache, dass die Planeten seit mehreren Milliarden Jahren auf diesen Bahnen um die Sonne kreisen. Wir brauchen also nicht zu befürchten, die Erde könnte in den nächsten Jahren mit einem anderen Planeten zusammenstoßen.

Quellen: